Differential Equations as a Projection of Implicit Functions Using Spatio-Temporal Taylor Expansion and Critical Points Properties

Abstract

This contribution introduces a novel method for formulating differential equations. This method relies on expanding an implicit function that varies with time (denoted as "t") in the space-time domain using Taylor series. This formulation encompasses both ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs).In the context of visualizing vector fields, such as fluid flow and electromagnetic fields, the critical points of ODEs play a crucial role in understanding physical phenomena behavior. This paper outlines a general approach for formulating ODEs and PDEs by treating them as time-varying scalar functions using the Taylor expansion. Furthermore, a new condition for identifying critical points is derived and specified specifically for cases where the function is invariant with respect to time (referred to as "t-invariant"). This newly derived formula enhances the detection of critical points, particularly in the context of acquiring and analyzing large 3D fluid flow data. This advancement enables efficient compression of 3D vector data and their representation through radial basis functions (RBFs).

Tento příspěvek představuje novou metodu pro formulování diferenciálních rovnic. Tato metoda se opírá orozvoj implicitní funkce, která se mění s časem (označená jako "t") v časoprostorové doméně pomocí Taylorovy řady. Tato formulace zahrnuje jak obyčejné diferenciální rovnice (ODR), tak parciální diferenciální rovnice (PDR). V kontextu vizualizace vektorových polí, jako je proudění tekutin a elektromagnetická pole, hrají kritické body ODR klíčovou roli v pochopení chování fyzikálních jevů. Tento článek nastiňuje obecný přístup k formulování ODR a PDR tím, že je vnímá jako časově proměnné skalární funkce pomocí Taylorova rozvoje. Dále je odvozena nová podmínka pro identifikaci kritických bodů a specifikována konkrétně pro případy, kdy je funkce invariantní vzhledem k času (označovaná jako "t-invariantní"). Tato nově odvozená formule zlepšuje detekci kritických bodů, zejména v kontextu získávání a analýzy velkých 3D dat o proudění tekutin. Tento pokrok umožňuje efektivní kompresi 3D vektorových dat a jejichreprezentaci pomocí radiálních bázových funkcí (RBF).